Spirals [Filipino Translation]
|
| Sa Pangunahing Pahina “Mga Matematiko na Mga Handkraft” |
Ano ang spiral?
 |
 |
 |
Ang spiral ay isang curve sa eroplano o sa espasyo, na tumatakbo sa paligid ng isang sentro sa isang espesyal na paraan.
Iba’t ibang mga spirals ang sinusunod. Karamihan sa kanila ay ginawa ng mga formula.
Nangunguna sa mga Spiral ng mga Polar Equation
Archimedean Spiral top
Maaari kang gumawa ng isang spiral sa pamamagitan ng dalawang galaw ng isang punto: May isang unipormeng paggalaw sa isang nakapirming direksyon at isang galaw sa isang bilog na may pare-pareho ang bilis. Ang parehong mga galaw ay nagsisimula sa parehong punto.
…………………….. . |
 |
 |
(1) Ang unipormeng paggalaw sa kaliwa ay gumagalaw sa isang punto sa kanan. – Mayroong siyam na snapshot.
(2) Ang paggalaw na may pare-pareho ang bilis ng anggulo ay gumagalaw sa punto sa isang spiral nang sabay-sabay. – Mayroong isang punto bawat ika-8 na pagliko.
(3) Ang spiral bilang isang curve ay dumating, kung guhit mo ang punto sa bawat pagliko.
Nakukuha mo ang mga formula na may pagkakatulad sa mga equation ng bilog.
Bilog
… .. . |
P ay isang punto ng isang bilog na may radius R, na ibinigay ng isang equation sa sentrong posisyon.May tatlong mahahalagang paglalarawan ng bilog: (1) Sentral na equation: x² + y² = R² o [y = sqr (R²-x²) at y = -sqr (R²-x²)], (2) Parameter form: x ( t) = R cos (t), y (t) = R sin (t), (3) Polar equation: r (t) = R. |
Nagbibigay ka ng isang punto sa pamamagitan ng isang pares (radius OP, anggulo t) sa (simpleng) polar equation. Ang radius ay ang distansya ng punto mula sa pinagmulan (0 | 0). Ang anggulo ay nasa pagitan ng radius at ang positibong x-axis, ang kaitaasan nito sa pinagmulan.
Spiral
Ang radius r (t) at ang anggulo t ay proporsyonal para sa simpliest spiral, ang spiral ng Archimedes. Samakatuwid ang equation ay:
(3) Polar equation: r (t) = sa [a ay pare-pareho].
Mula sa sumusunod na ito
(2) Parameter form: x (t) = sa cos (t), y (t) = sa kasalanan (t),
(1) Sentral na equation: x ² ² ² = a ² [arc tan (y / ] ².
…  … |
Ang Archimedean spiral ay nagsisimula sa pinagmulan at gumagawa ng isang curve na may tatlong round.Ang mga distansya sa pagitan ng mga sanga ng spiral ay pareho. Mas eksakto: Ang mga distansya ng mga intersection point kasama ang isang linya sa pamamagitan ng pinagmulan ay pareho. |
…  … |
Kung nagpapakita ka ng isang Archimedean spiral sa isang tuwid na linya, makakakuha ka ng isang bagong spiral na may tapat na direksyon. Ang parehong mga spiral pumunta sa labas. Kung titingnan mo ang mga spiral, ang kaliwa ay bumubuo ng isang curve na lumilipat sa kaliwa, ang tamang isa ay bumubuo ng isang curve na pumupunta sa kanan. |
Kung ikinonekta mo ang parehong mga spirals sa pamamagitan ng isang tuwid (pula) o isang bowed curve, isang double spiral develops.
Ang Equularular Spiral (Logarithmic Spiral, Bernoulli’s Spiral) tuktok
…  … |
(1) Polar equation: r (t) = exp (t). (2) Parameter form: x (t) = exp (t) cos (t), y (t) = exp (t) kasalanan (t). (3) Sentral na equation: y = x tan [ln (sqr (x² + y²))]. Ang spiral na logarithmic ay lumalabas din. Ang spiral ay may tampok na katangian: Ang bawat linya na nagsisimula sa pinagmulan (pula) ay pinutol ang spiral na may parehong anggulo. |
Higit pang mga Spirals tuktok
Kung palitan mo ang term na r (t) = sa Archimedean spiral ng iba pang mga termino, makakakuha ka ng ilang mga bagong spiral. Mayroong anim na spiral, na maaari mong ilarawan sa mga function f (x) = x ^ a [a = 2,1 / 2, -1 / 2, -1] at f (x) = exp (x), f ( x) = ln (x). Nakilala mo ang dalawang grupo depende sa kung paano lumalaki ang parameter na t0 mula 0.
…  ……… |
Kung ang absolute modulus ng function na r (t) ay tumataas, ang mga spiral ay tumatakbo mula sa loob papunta sa labas at humigit sa lahat ng mga limitasyon. Ang spiral 1 ay tinatawag na parabolic spiral o spiral ni Fermat. |
…  …. |
Kung ang absolute modulus ng isang function r (t) ay bumababa, ang mga spiral ay tumatakbo mula sa labas papunta sa loob. Karaniwan silang tumatakbo sa gitna, ngunit hindi nila ito maaabot. May isang poste. Ang Spiral 2 ay tinatawag na Lituus (taling kawani). |
Pinili ko ang mga equation para sa iba’t ibang mga formula ng spiral na angkop para sa paglalagay.
Clothoide ( Cornu Spiral) top
…  …. |
Ang clothoid o double spiral ay isang curve, na ang curvature ay lumalaki sa distansya mula sa pinagmulan. Ang radius ng kurbada ay kabaligtaran na katapat sa arko nito na sinusukat mula sa pinagmulan.Ang parameter na form ay binubuo ng dalawang equation na may mga integral ng Fresnel, na maaaring malutas lamang ang tinatayang. Ginagamit mo ang Cornu spiral upang ilarawan ang pamamahagi ng enerhiya ng Fresnel’s diffraction sa isang solong punit sa teorya ng alon. |
Mga Spiral na Ginawa ng mga arko tuktok
Half bilog na spiral
…  … |
Maaari kang magdagdag ng kalahating lupon na lumalago nang sunud-sunod upang makakuha ng mga spiral. Ang radii ay may ratios 1 : 1.5 : 2 : 2.5 : 3 ….. |
Fibonacci Spiral
…  … |
Gumuhit ng dalawang maliit na kuwadrado sa ibabaw ng bawat isa. Magdagdag ng isang pagkakasunod-sunod ng lumalagong mga parisukat na counter clockwise. Gumuhit ng mga quarter circle sa loob ng mga parisukat (itim). Bumubuo sila ng Fibonacci Spiral. |
Ang Fibonacci spiral ay tinatawag pagkatapos ng mga numero nito. Kung kukuha ka ng haba ng parisukat na gilid sa pagkakasunud-sunod, makakakuha ka ng pagkakasunod-sunod 1,1,2,3,5,8,13,21, … Ang mga ito ay ang mga numero ng Fibonacci, na makikita mo sa pamamagitan ng recursive formula isang (n) = a (n-1) + a (n-2) na may [a (1) = 1, a (2) = 1, n> 2].
Nangungunang mga Spirals na Ginawa ng Mga Segment ng Linya
…  … |
Ang spiral ay ginawa ng mga segment ng linya na may haba na 1,1,2,2,3,3,4,4, …. Ang mga linya ay nakakatugon sa isa’t isa sa tamang mga anggulo. |
…  … |
Gumuhit ng spiral sa isang tawiran na may apat na intersecting tuwid na mga linya, na bumubuo ng 45 ° angles. Magsimula sa pahalang na linya 1 at liko ang susunod na linya nang perpendikular sa tuwid na linya. Ang mga segment ng linya ay bumubuo ng isang geometriko na pagkakasunod-sunod sa karaniwang ratio sqr (2). Kung gumuhit ka ng spiral sa isang tuwid na linya ng bundle, lapitan mo ang logarithmic spiral, kung ang mga anggulo ay magiging mas maliit at mas maliit. |
…  … |
Ang susunod na spiral ay nabuo sa pamamagitan ng isang tanikala ng mga tamang mga triangles na angled, na may isang karaniwang panig. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay nagiging binti ng susunod. Unang link ay 1-1-sqr (2) -triangle. Ang libreng binti ay bumubuo ng spiral. Espesyal na ang mga triangulo ay nakakahipo sa mga segment ng linya. Ang kanilang haba ay ang mga pinagmulan ng natural na mga numero. Maaari mo itong patunay sa Pythagorean theorem. Ang pigura na ito ay tinatawag na spiral na ugat o ugat ng oso o gulong ng Theodorus. |
…  … |
Ang mga parisukat ay nakabukas sa paligid ng kanilang sentro na may 10 ° at naka-compress sa parehong oras, upang ang kanilang mga sulok ay mananatili sa mga gilid ng kanilang naunang parisukat. Resulta: Ang mga sulok ay bumubuo ng apat na spiral arms. Ang spiral ay katulad ng spiral ng logarithm, kung ang mga anggulo ay mas maliit at mas maliit. Maaari mo ring i-iba pang mga regular na polygons eg isang equilateral triangle. Nakakuha ka ng katulad na mga numero. |
Ang larawang ito ay nagpapaalala sa akin ng programming language LOGO ng mga unang araw ng computing (C64-nostalgia).
Tatlong-dimensional Spirals top
Helix
…  … |
Kung gumuhit ka ng isang lupon na may x = cos (t) at y = sin (t) at hilahin ito nang pantay-pantay sa z-direksyon, makakakuha ka ng spatial spiral na tinatawag na cylindrical spiral o helix. |
Ang pares ng larawan ay ginagawang posible ang 3D view.
…  … |
Pag-isipan ang 3D-spiral sa isang patayong eroplano. Makukuha mo ang isang bagong spiral (pula) na may tapat na direksyon. Kung hawak mo ang iyong kanang kamay sa paligid ng tamang spiral at kung ang iyong hinlalaki ay tumuturo sa direksyon ng spiral axis, ang spiral ay nagpapatakbo ng paikot sa pataas. Ito ay tamang pabilog. Dapat mong gamitin ang iyong kaliwang kamay para sa kaliwang spiral. Ito ay naiwan na pabilog. Ang pag-ikot ay counter clockwise. Halimbawa: Halos lahat ng mga screws ay may clockwise rotation, dahil karamihan sa mga tao ay may karapatan. |
…  … |
Sa panitikan na “teknikal” ang tamang pabilog na spiral ay ipinaliwanag gaya ng sumusunod: Iyong hangin ang isang tatsulok na hugis sa paligid ng isang silindro. Ang isang paikot-ikot na paikot na spiral ay bubuo, kung tumataas ang tatsulok sa kanan. |
Conical Helix top
Maaari kang gumawa ng conical helix sa Archimedean spiral o equiangular spiral.
Ang posibilidad ng mga pares ng larawan ay posible.
 |
 |
Loxodrome , Spherical Helix
…  … |
Ang loxodrome ay isang curve sa globo, na nagbabawas sa mga meridian sa isang pare-pareho ang anggulo. Lumilitaw ang mga ito sa Mercator projection bilang tuwid na mga linya. Ang parametric representation ay x = cos (t) cos [1 / tan (at)] y = sin (t) cos [1 / tan (sa)] z = ) Maaari mong malaman ang x² + y² + z² = 1. Ang equation na ito ay nangangahulugan na ang loxodrome ay nakahiga sa globo. |
Sa pangkalahatan mayroong isang loxodrome sa bawat solid na ginawa ng pag-ikot tungkol sa isang axis.
Paggawa ng mga Spirals sa itaas
…  … |
Ang isang guhit ng papel ay nagiging isang spiral, kung hinila mo ang strip sa pagitan ng hinlalaki at ang gilid ng isang kutsilyo, pagpindot nang matigas. Ang spiral ay nagiging curl kung saan ang gravity ay naroroon. |
Ginagamit mo ang epekto na ito upang palamutihan ang mga dulo ng mga sintetikong materyal, tulad ng makitid na makukulay na piraso o mga ribbon na ginamit sa pambalot ng regalo.
Ipagpalagay ko na kailangan mong ipaliwanag ang epekto na ito sa parehong paraan tulad ng isang bimetallic bar. Gumawa ka ng isang bimetallic bar sa pamamagitan ng pagdikit ng dalawang piraso, bawat isa ay gawa sa ibang metal. Kapag ang bimetallic bar na ito ay pinainit, ang isang metal strip ay nagpapalawak ng higit sa iba pang nagiging sanhi ng bar sa pagyuko.
Ang dahilan na ang strip ng bends ng papel ay hindi kaya magkano ang gagawin sa mga pagkakaiba sa temperatura sa pagitan ng itaas at sa ilalim na bahagi. Binabago ng kutsilyo ang istraktura ng ibabaw ng papel. Ang panig na ito ay nagiging ‘mas maikli’.
Hindi sinasadya, ang isang piraso ng papel ay liko nang bahagya kung hawak mo ito sa init ng apoy ng kandila.
…  … |
Ang porma ng mga kulot ay nagpapaalala sa akin ng isang laro ng mga lumang bata: Kumuha ng bulaklak ng dandelion at i-cut ang stem sa dalawa o apat na piraso, pinapanatili ang ulo ng buo. Kung ilalagay mo ang bulaklak sa ilang tubig, kaya na ang ulo ay lumulutang sa ibabaw, ang mga piraso ng tangkay ay mabaluktot. (Isipin ang mga spot.)Ang isang posibleng paliwanag: Marahil na ang iba’t ibang pagsipsip ng tubig sa bawat panig ng mga piraso ay nagiging sanhi ng mga ito upang mabaluktot. |
Nangungunang Mandelbrot Spirals
Ang mga coordinate ay nabibilang sa sentro ng mga larawan.
Nakatagpo ka rin ng magagandang mga spiral gaya ng Julia Sets. Narito ang isang halimbawa:
Nakakatagpo ka ng higit pa tungkol sa mga larawang ito sa aking pahina Mandelbrot Set .
Mga Spiral na Ginawa ng Metal tuktok
Nakahanap ka ng magagandang mga spiral bilang isang dekorasyon ng mga bintana ng barred, fence, gate o pintuan. Maaari mong makita ang mga ito sa lahat ng dako, kung ikaw ay tumingin sa paligid.
…  … |
Natagpuan ko ang mga spiral na dapat ipakita sa New Ulm, Minnesota, USA. Ang mga Amerikano na may Aleman na pamahiin ay nagtayo ng isang kopya ng monumento ng Herman malapit sa Detmold / Germany noong mga 1900. Ang mga railings ng bakal na may maraming mga spiral ay nagdekorasyon sa mga hagdan (larawan). Higit pa tungkol sa Amerikano at Aleman na Herman sa mga pahina ng Wikipedia (URL sa ibaba) |
Ang mga costume jewelery ay nagsasagawa din ng mga spiral bilang motibo.
…  … |
Annette’s spiral |
Spiral, spiral, spiral top
Ang mga Ammonita, mga antler ng ligaw na tupa, spiral ng tubig ni Archimedes, lugar ng mataas o mababang presyon, pag-aayos ng sunflower core, @, bimetal thermometer, kawani ng obispo, Brittany sign, mga lupon ng isang agila ng dagat, climbs, clockwise umiikot na lactic acid, ang mga ulap ng usok, likaw, likidong spring, corkscrew, creeper (halaman), curl, depression sa meteorolohiya, disc ng Festós, double filament ng bombilya, double helix ng DNA, double spiral, electron rays sa magnetic longitudinal field, sa cyclotron, Exner spiral, finger mark, fir cone, glider ascending, groove ng record, head of music instrument violin, heating wire inside a hotplate, spiral heat, herb spiral, inflation spiral, bituka ng tadpole, spiral sa kaalaman, likidong halamang-singaw, spiral ng buhay, Lorenz attractor, minaret sa Samarra (Iraq), sungay ng instrumento ng musika,ang pendulum na katawan ng Galilei pendulum, relief strip ng haligi ng Trajan sa Roma o ng Bernward na haligi sa Hildesheim, poppy snail, kalsada ng bundok ng cone, papel (wire, thread, cable, hose, tape measure, paper, bandage), tornilyo ang mga thread, simpleng palawit na may alitan, ahas sa posisyon ng resting, ahas ng Aesculapius, snail ng panloob na tainga, scroll, tornilyo alga, snail-shell, spider net, spiral exercise book, spiral nebula, spiral staircase (hal. ang salamin simboryo ng Reichstag sa Berlin), Spirallala ;-), Spirelli noodles, Spirills (hal. Cholera bacillus), mga springs ng mattress, suction trunk (mas mababang panga) ng repolyo puting butterfly, buntot ng kabayo ng dagat, taps ng mga conifers, dila at buntot ng chamaeleon, mga bakas sa CD o DVD, treble clef, tusks ng giants, virus, volute,panoorin ang spring at balanse ng spring ng mga mechanical clocks, whirlpool, ipuipol.
Mga sanggunian top
(1) Martin Gardener: Unsere gespiegelte latay, Ullstein, Berlin, 1982 [ISBN 3-550-07709-2]
(2) Rainer und Patrick Gaitzsch: Computer-Lösungen für Schule und Studium, Band 2, Landsberg am Lech, 1985
(3) Jan Gullberg: Matematika – Mula sa Kapanganakan ng Mga Numero, New York / London (1997) [ISBN 0-393-04002-X]
(4) Khristo N. Boyadzhiev: Spirals at Conchospirals sa Flight of Insects, The Journal ng Matematika sa Kolehiyo,
Vol.30, No.1 (Enero, 1999) pp.23-31
(5) Jill Purce: ang mystic spiral – Paglalakbay ng Kaluluwa, Thames at Hudson, 1972, muling naitala 1992
Feedback: Ang email address sa aking pangunahing pahina
URL ng aking Homepage:
http://www.mathematische-basteleien.de/
© Jürgen Köller 2002